Démonstration des transformations de Lorentz
Cette démonstration est absolument géniale car elle montre sans tenir compte de la physique que la 'vitesse de la lumière' est constante.
Tout découle mathématiquement du fait qu'on suppose l'espace et le temps homogène et isotrope (il n'y a pas de point espace ou temps ni orientation privilégiés)
Souvent pour démontrer les transformation de Lorentz on part du postulat que la vitesse de la lumière est constante, ce n'est pas nécessaire ! Puisque ça se démontre mathématiquement !
On montre donc ici que c'est la relativité restreinte d'Einstein (avec composition des vitesses qui n'est pas celle de Newton et vitesse de la lumière constante égale dans tous les référentiels) qui est naturelle
... et non pas ce que nous dit notre intuition et nos vieilles habitudes de pensée
J'utilise des majuscules pour indiquer les primes '
r et R sont des référentiels galiléens
R se déplace par rapport = r à la vitesse v (dans r)
On a les transformations qui dépendent de la vitesse v
X = f(x, y, z, t)
Y = g(x, y, z, t)
Z = h(x, y, z, t)
T = l(x, y, z, t)
et aussi
x = f(X, Y, Z, T)
y = g(X, Y, Z, T)
z = h(X, Y, Z, T)
t = l(X, Y, Z, T)
Nous allons ici définir ces fonctions.
Homogénéité de l'espace-temps ... on montre que les fonctions sont linéaires
soient e1 = (x1,y,z,t) et e2 = (x2,y,z,t) deux points de l'espace-temps
et e1 = (X1,Y,Z,T) et e2 = (X2,Y,Z,T)
(il faudrait mettre des indices différents pour les y z et t, ce sont pas les mêmes mais on n'en tient pas compte ici)
soit dx une distance dans r suivant x
soit dX une distance dans R suivant X
et les points e1+dx = (x1+dx,y,z,t) et e2+dx = (x2+dx,y,z,t)
et donc aussi e1+dX = (X1+dX,Y,Z,T) et e2+dX = (X2+dX,Y,Z,T)
X1 = f(x1,y,z,t)
X2 = f(x2,y,z,t)
X1+dX = f(x1+dx,y,z,t)
X2+dX = f(x2+dx,y,z,t)
faisons le développement limité
f(x1+dx,y,z,t) - f(x1,y,z,t) = f'(x1,y,z,t).dx + f"(x1,y,z,t).dx.dx/2! + ...
f(x2+dx,y,z,t) - f(x2,y,z,t) = f'(x2,y,z,t).dx + f"(x2,y,z,t).dx.dx/2! + ...
par homogénéité on a
f(x1+dx,y,z,t) - f(x1,y,z,t) = f(x2+dx,y,z,t) - f(x2,y,z,t)
car la distance reste identique dans R
(X1+dX) - X1 = dX = (X2+dX) - X2
on a donc
f'(x1,y,z,t).dx + f"(x1,y,z,t).dx.dx/2! + ... = f'(x2,y,z,t).dx + f"(x2,y,z,t).dx.dx/2! + ...
donc en particulier au premier odrdre
f'(x1,y,z,t) = f'(x2,y,z,t)
la dérivée première est constante (ne dépend pas de x (ici x1 ou x2))
donc f est linéaire en x
même raisonnement pour y z t ...
on obtient les fonctions linéaires avec les coeff dépendant de v
X = a1.x + b1.y + c1.z + d1.t + k1
Y = a2.x + b2.y + c2.z + d2.t + k2
Z = a3.x + b3.y + c3.z + d3.t + k2
T = a4.x + b4.y + c4.z + d4.t + k4
les ki = 0 si les origines sont au même point de l'espace temps (0,0,0,0) dans r = (0,0,0,0) dans R
Isotropie de l'espace-temps
on va pouvoir éliminer plein de coefficients
les points du plan y=0 restent dans le plan Y=0, pareil pour z=0
donc a2 = c2 = d2 = 0
et a3 = b3 = d3 = 0
et comme y et z sont équivalents c3 = b2
On va maintenant montrer que X = a1.x + b1.y + c1.z + d1.t ne dépend pas de y et z ...
Prenons par exemple e0 = (0,0,0,0), e1 = (0,y,z,0) et e2 = (0,-y,-z,0)
X1 et X2 sont-ils aussi = 0 ? (et T1 T2)
l'écart en x dans r de e1 à e0 est la même que e0 à e2 càd x0-x1=x2-x0
l'écart en X dans R de e1 à e0 est la même que e0 à e2 càd X0-X1=X2-X0
or X0 = 0 donc X1=-X2
et par invariance par rotation on doit avoir X1=X2
donc X1=X2=0
idem T1=T2=0
et ce quels que soient y et z ... donc b1=c1=b4=c4=0
Tenons compte de la vitesse de R par rapport à r
le point O origine de R se déplace à la vitesse v par rapport à o origine de r
on a
X = a1.x + d1.t
Y = b2.y
Z = b2.z
T = a4.x + d4.t
dans r O est repéré par (x=v.t,o,o,t)
or O dans R est (0,0,0,T)
donc
0 = a1.x + d1/t = a1.v.t + d1.t
0 = b2.0
0 = b2.0
T = a4.x + d4.t
donc d1 = -a1.v ***************
Renversement des axes
Imaginons d'avoir x et X qui pointent dans l'autre sens.
On va écrire a1[v], a4[v], ... pour montrer que ça dépend de v
on change x en -x, X en -X et
-X = a1[v](-x-v.t) qui s'écrit aussi X = a1[v](x+v.t)
Y = b2[v].y
Z = b2[v].z
T = -a4[v].x + d4[v].t
ça doit être pareil que de changer v en -v sans changer les axes
X = a1[-v](x -(-v)t) = a1[-v](x+v.t)
Y = b2[-v].y
Z = b2[-v].y
T = a4[-v].x + d4[-v].t
en identifiant le tout
a1[-v] = a1[v] donc paire ****
b2[-v] = b2[v] paire
a4[-v] = -a4[v] impaire
d4[-v] = d4[-v] paire
Repères relatifs
on sait que a1 d4 sont paires et a4 impaire
R s'éloigne de r à une vitesse v dans r
r s'éloigne de R a une vitesse V=-v dans R et A1=a1 D4=d4 A4=-a4
X = a1.x - a1.v.t
Y = b1.y
Z = b1.z
T = a4.x + d4.t
x = A1.X - A1.V.T = a1.x + a1.v.t
y = B1.b1.y = b1.b1.y
z = B1.b1.y = b1.b1.z
t = A4.X + D4.T = -a4.x + d4.t
donc en remplaçant X par sa valeur
x = a1.(a1.x - a1.v.t) + a1.v.(a4.x + d4.t)
= a1.a1.x - a1.a1.v.t + a1.a4.v.x + a1.d4.v.t
= x.(a1.a1 + a1.a4.v) + t.(-a1.a1.v - a1.d4.v)
on veut a1.a1 - a1.a4.v = 1
donc a1.a4.v = 1 - a1.a1
a4 = (1-a1.a1)/a1.v ********
on veut -a1.a1.v - a1.d4.v =0
donc d4 = a1 ********
t = -a4.(a1.x - a1.v.t) + d4.(a4.x + d4.t)
= x.(-a4.a1 + d4.a4) + t.(a4.a1.v+ d4.d4)
on veut -a4.a1 + d4.a4 = 0 donc d4 = a1 ****
on veut a4.a1.v+ d4.d4 = 1
donc a4 = (1-d4.d4)/a1.v c'est cohérent car d4 = a1
on obtient finalement
X = a1(x-v.t)
Y = y
Z = z
T = x.(1-a1.a1)/a1.v + a1.t = a1(t - x.(a1.a1-1)/(a1.v))
Composition des mouvements
R1 s'éloigne de R0 à la vitesse v1
R2 s'éloigne de R1 à la vitesse v2
R2 s'éloigne de R0 à la vitesse v3 que l'on calculera
on appelera a1=a1[v1], a2=a1[v2], a3=a1[v3]
X1 = a1(X0 - v1.T0)
T1 = a1(T0 - X0.(a1.a1-1)/(a1.v1))
X2 = a2(X1 - v2.T1)
T2 = a2(T1 - X1.(a2.a2-1)/(a2.v2))
remplaçons X1 et T1
X2 = a2 [ a1(X0 - v1.T0) - v2.a1(T0 - X0.(a1.a1-1)/(a1.v1))) ]
= X0 [ a2.a1 + a2.v2.a1.(a1.a1-1)/(a1.v1)] + T0 [-a2.a1.v1 -a2.v2.a1]
= a2.a1( X0[1+v2.(a1.a1-1)/(a1.v1)] - T0(v1+v2) )
T2 = a2(a1(T0 - X0.(a1.a1-1)/(a1.v1)) - a1(X0 - v1.T0)(a2.a2-1)/(a2.v2))
= T0 [a2.a1 + a2.a1.v1.(a2.a2-1)/(a2.v2)] + X0[-a2.a1.(a1.a1-1)/(a1.v1) -a2.a1.(a2.a2-1)/(a2.v2)]
en direct de R0 à R2
X2 = a3(X0 - v3.T0)
T2 = a3(T0 - X0.(a3.a3-1)/(a3.v3))
a3 = a2.a1[1+v2.(a1.a1-1)/(a1.v1)]
a3 = a2.a1[1+v1.(a2.a2-1)/(a2.v2)]
donc
1+v2.(a1.a1-1)/(a1.v1) = 1+v1.(a2.a2-1)/(a2.v2)
v2.(a1.a1-1)/(a1.v1) = v1.(a2.a2-1)/(a2.v2)
(a1.a1-1)/(a1.v1.v1) = (a2.a2-1)/(a2.v2.v2)
quels que soient v1 et v2
donc (a²-1)/(a²v²) = k constante !!! c'est ici qu'on a la constante !!!
donc a²-1 = ka²v²
et a²(1-kv²) = 1
donc a² = 1/(1-kv²)
et a = RacineCarrée(1/(1-kv²))
si on prend k = 1/c2 !!! disons que c est la vitesse de la lumière (il en a la dimension m/s en tous cas) !!!
a = RacineCarrée(1/(1-v²/c²)
On note β = v/c et 𝛾 = 1/√(1-β²)
et voici les transformations de Lorentz
cT = 𝛾(ct-βx) ou T = 𝛾(t-vx/c²)
X = 𝛾( x-βct) ou X = 𝛾(x-vt)
Y = y
Z = z